Dalam mekanika kuantum, setiap sistem fisik direpresentasikan sebagai ruang Hilbert kompleks, yaitu ruang abstrak berbentuk vektor dengan koordinat bilangan imajiner yang menjadi panggung matematis bagi seluruh kemungkinan keadaan partikel. Untuk sistem dua tingkat atau qubit, ruang Hilbertnya adalah C². Operator densitas ρ, yang mendeskripsikan keadaan statistik sistem, adalah matriks Hermitian semi-definit positif dengan trace sama dengan satu.
Evolusi waktu sistem tertutup bersifat unitar, artinya dapat dibalik secara sempurna. Operator evolusi U(t) = e^{-iHt/ħ} memenuhi U†U = UU† = I. Namun, ketika sistem berinteraksi dengan lingkungan disebut sistem terbuka sifat unitar rusak. Informasi bocor keluar melalui proses yang disebut dekoherensi. Secara matematis, evolusi ini digambarkan oleh kanal kuantum, yaitu peta komplet positif dan pelacakan-preservasi (CPTP) yang tidak memiliki invers sempurna.
Formulasi paling umum untuk kanal kuantum adalah representasi operator sum Krauss. Untuk setiap kanal N terdapat himpunan operator Krauss K_i sehingga N(ρ) = Σ_i K_i ρ K_i† dengan Σ_i K_i†K_i = I. Jumlah operator Krauss menentukan rank kanal. Untuk kanal depolarizing berkorelasi sempurna pada dua qubit, rank minimalnya adalah empat, yang muncul dari struktur aljabar grup Pauli.
Representasi Operator Sum Krauss Rank-4
Untuk sistem dua qubit yang mengalami depolarisasi dengan korelasi sempurna, operator Krauss rank-4 didefinisikan sebagai K_0 = √(1-p) I⊗I, K_1 = √(p/3) X⊗X, K_2 = √(p/3) Y⊗Y, dan K_3 = √(p/3) Z⊗Z. Parameter p dalam [0,1] merepresentasikan probabilitas depolarisasi. Operator Pauli X, Y, Z bersifat Hermitian dan unitar. Produk tensor X⊗X berarti operator X bekerja pada kedua qubit secara simultan. Sifat korelasi sempurna muncul karena semua operator Krauss berbentuk tensor produk dari operator yang sama pada kedua qubit. Kondisi pelacakan-preservasi terpenuhi karena Σ_i K_i†K_i = I, dengan total probabilitas (1-p) 3(p/3) = 1.
Semigroup Lindblad Non-Markovian
Evolusi waktu sistem terbuka non-Markovian tidak dapat mengikuti persamaan master Markovian dengan generator konstan, karena asumsi lingkungan tanpa memori. Sebagai gantinya, digunakan persamaan master Lindblad dengan koefisien bergantung waktu: dρ/dt = -i[H,ρ] Σ_k γ_k(t)(L_k ρ L_k† - ½{L_k†L_k, ρ}). Hamiltonian H menggambarkan dinamika internal, operator Lindblad L_k merepresentasikan dissipasi, dan γ_k(t) adalah koefisien redaman yang dapat bernilai negatif. Solusi persamaan ini memberikan operator densitas pada waktu t: ρ(t) = Σ_{i=0}³ Λ_i(t) σ_i⊗σ_i, dengan σ_0 = I⊗I, σ_1 = X⊗X, σ_2 = Y⊗Y, σ_3 = Z⊗Z. Koefisien Λ_i(t) memenuhi dΛ_i/dt = -2γ(t)Λ_i untuk i=1,2,3, dan Λ_0(t)=1/4. Solusinya Λ_i(t) = (1/4) exp(-2∫₀ᵗ γ(s) ds). Integral Γ(t) = ∫₀ᵗ γ(s) ds menentukan efek non-Markovian. Jika Γ(t) negatif, koefisien Λ_i(t) meningkat, menandakan aliran balik informasi dari lingkungan ke sistem.
Konstruksi Matrix Product Operators
Untuk sistem n qubit, operator densitas berdimensi 2^n × 2^n tidak dapat direpresentasikan secara eksplisit. Matrix Product Operators (MPO) menyediakan representasi kompak dengan memanfaatkan struktur korelasi lokal. Dalam MPO, operator densitas ditulis sebagai ρ = Σ_{a₁,...,a_n} A^{[1]}_{a₁} A^{[2]}_{a₁a₂} ... A^{[n]}_{a_{n-1}a_n} σ_{a₁}⊗...⊗σ_{a_n}, dengan indeks a_i dari 0 sampai 3 merepresentasikan basis Pauli lokal. Untuk kanal depolarizing berkorelasi, MPO memiliki bentuk terstruktur. Fungsi korelasi temporal ξ_{ij}(t) = (1/16)(e^{-4Γ(t)} - e^{-8Γ(t)}) untuk pasangan tetangga, dan nol untuk pasangan lebih jauh. Bond dimension χ minimal 4, sesuai jumlah elemen basis Pauli.
Kapasitas Kuantum, Koheren, dan Privat
Kapasitas kuantum Q(N) didefinisikan sebagai supremum coherent information yang diregularisasi. Untuk kanal depolarizing berkorelasi rank-4 yang bersifat degradable, regulasi tidak diperlukan. Kapasitas privat P(N) didefinisikan melalui regularisasi private information. Kapasitas koheren identik dengan kapasitas kuantum untuk kanal degradable. Untuk state masukan Bell state |Φ ⟩, spektrum eigenvalue N(Φ ) adalah λ₀=(1 3p)/4 dan λ₁=λ₂=λ₃=(1-p)/4. Coherent information untuk state Bell adalah S(N(Φ )) - 1, bernilai positif jika S(N(Φ )) > 1.
Perhitungan Eksplisit Menggunakan MPO
Dengan MPO, entropi von Neumann dari N^{⊗n}(ρ) dihitung dari spektrum matriks transfer. Kapasitas kuantum total menjadi Q(t) = 1 - H₂((1 p(t))/2) Δ(t), dengan H₂ entropi biner, p(t)=1-e^{-2Γ(t)}, dan Δ(t) = (1/2) Σ_{i Kerangka matematis ini menunjukkan bahwa kanal kuantum dengan memori lingkungan dapat dianalisis secara eksak menggunakan kombinasi representasi Krauss rank-4, persamaan master Lindblad non-Markovian, dan MPO. Keempat operator Krauss membentuk representasi minimal untuk depolarisasi berkorelasi sempurna. Persamaan master dengan koefisien γ(t) bergantung waktu memberikan solusi analitik. MPO memungkinkan ekstensi ke banyak qubit. Kapasitas kuantum, koheren, dan privat memiliki ekspresi matematis yang melibatkan entropi biner dan suku koreksi dari fungsi korelasi. Suku koreksi dapat meningkatkan kapasitas di atas nilai kanal tanpa memori ketika Γ(t) negatif, yang merupakan indikator non-Markovianitas.
